Question

20．已知如图，△ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG∥BC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=CG，连接AE、CD．
（1）求证：△AGE≌△DAC；
（2）过E做EF∥DC．交BC于F．连接AF．判断△AEF是怎样的三角形．并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据已知等边三角形的性质可推出△ADG是等边三角形，从而再利用SAS判定△AGE≌△DAC；
（2）连接AF，由已知可得四边形EFCD是平行四边形，从而得到EF=CD，∠DEF=∠DCF，由（1）知△AGE≌△DAC得到AE=CD，∠AED=∠ACD，从而可得到EF=AE，∠AEF=60°，所以△AEF为等边三角形．

解答 证明：（1）在△AGE与△DAC中，
∵DG‖BC，△ABC是等边三角形
∴AD=AG=DG
又∵DE=CG
∴EG=DE+DG=CG+AG=AC，
∠AGE=∠DAC=60°
在△AGE和△DAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AD}\\{∠AGE=∠DAC}\\{GE=AC}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△DAC    
（2）判断：△AEF是等边三角形  
证明：∵EF∥DC
∴∠GEF=∠GDC
又∵∠AEG=∠ACD
∴∠AEG+∠GEF=∠GCD+∠GDC=∠AGD=60°
∴∠AEF=60°
又∵DG∥BC，EF∥DC
∴四边形CDEF是平行四边形
∴DC=EF
又∵△AGE≌△DAC
∴AE=DC
∴AE=EF
∴△AEF是等边三角形．

点评 此题主要考查学生对全等三角形的判定，等边三角形的性质及判定的理解及运用．