Question

18．将矩形纸片ABCD如图折叠，使点B与点D重合，折痕为GH．
（1）试说明：AG=GF；
（2）试说明：四边形DGBH是菱形；
（1）若AB=12，BC=16．求GH的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明AG=GF，只要证明ABG≌△FDG即可．
（2）先证明四边形DGBH是平行四边形，再证明是菱形．
（3）作GE⊥BC于E，设AG=x，则DG=BG=16-x，在RT△ABG中利用勾股定理求出x，再在RT△GHE中利用勾股定理即可解决问题．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，GH是折痕，
∴∠A=∠F=90°，AB=DF
在△ABG和△FDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠F}\\{∠AGB=∠FGD}\\{AB=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△FDG，
∴AG=GF．
（2）证明：由折叠知BH=DH，∠BHG=∠DHG，
∵AD∥BC，
∴∠DGH=∠BHG，
∴∠DHG=∠DGH，
∴DG=DH，
∵DG平行且等于BH，
∴四边形DGBH为平行四边形，
∵BH=DH，
∴四边形DGBH是菱形．
（3）解：作GE⊥BC于E，设AG=x，则DG=BG=16-x，
在RT△ABG中，AB²+AG²=BG²，列方程得：12²+x²=（16-x）²，
解得：x=3.5，
∴BE=AG=3.5，HE=BH-BE=12.5-3.5=9，
在RT△GHE中，∵GH²=GE²+EH²=12²+9²=225，
∴GH=15．

点评 本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法以及菱形的判定方法，学会转化的思想，用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．