Question

10．如图，线段PA=1，点D是线段PA延长线上的点，AD=a（a＞1），点O是线段AP延长线上的点，OA²=OP•OD，以O为圆心，OA为半径作扇形OAB，∠BOA=90°．
点C是弧AB上的点，联结PC、DC．
（1）联结BD交弧AB于E，当a=2时，求BE的长；
（2）当以PC为半径的⊙P和以CD为半径的⊙C相切时，求a的值；
（3）当直线DC经过点B，且满足PC•OA=BC•OP时，求扇形OAB的半径长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接OE，作OM⊥BC于M．设⊙O半径为r，先列出关于r的方程求出r，再求出OM，在RT△BOM中利用勾股定理即可．
（2）如图2中，⊙C与⊙P相切于点M，连接DM与⊙P交于点Q，连接PQ、CQ、OC，想分别证明点A是△CMD的重心即可．
（3）如图3中，连接OC、PB、AC，想办法证明△OBC是等边三角形，再利用方程即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，连接OE，作OM⊥BC于M．设⊙O半径为r，
∵OA²=OP•OD，
∴r²=（r-1）（r+2），
∴r=2，
在RT△BOD中，∵OB=2，OD=4，
∴BD=$\sqrt{B{O}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵$\frac{1}{2}$•OD•OB=$\frac{1}{2}$•BD•OM，
∴OM=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
在RT△BOM中，∵$BO=2，OM=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴BM=$\sqrt{O{B}^{2}-O{M}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵OM⊥BE，
∴BM=ME，BE=2BM=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
（2）如图2中，⊙C与⊙P相切于点M，连接DM与⊙P交于点Q，连接PQ、CQ、OC．
∵OA²=OP•OD，
∴OC²=OP•OD，
∴$\frac{OC}{OP}$=$\frac{OD}{OP}$，
∵∠COP=∠DOC，
∴△COP∽△DOC，
∴∠OCP=ODC，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OCP+∠PCA=∠ACD+∠ODC，
∴∠PCA=∠DCA，
∵CM=CD，∠CQM=90°（直径CM所对的圆周角是直角），
∴∠MCQ=∠DCQ，
∴C、A、Q共线，
∵MP=PC，MQ=QD，
∴PQ∥CD，PQ=$\frac{1}{2}$CD，
∴PA：AD=PQ：CD=1：2，
∴AD=2PA=2．
（3）如图3中，连接OC、PB、AC．
∵∵OA²=OP•OD，
∴OC²=OP•OD，
∴$\frac{OC}{OP}$=$\frac{OD}{OP}$，
∵∠COP=∠DOC，
∴△COP∽△DOC，
∴∠OCP=ODC，
同理△BOP∽△DOB，∠OBP=∠D，
∴∠OBP=∠OCP，
∴O、B、C、P四点共圆，
∴∠BOP+∠BCP=90°，
∵PC•OA=BC•OP，
∴$\frac{PC}{OP}$=$\frac{BC}{BO}$，∵∠BOP=∠BCP，
∴△PBO∽△PBC，
∴$\frac{PC}{OP}$=$\frac{BC}{BO}$=$\frac{PB}{PB}$=1，
∴OB=BC=OC，PC=OP，设BO=BC=OC=r，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠OBC=60°，∠D=30°，
在RT△PCD中，∵PC=OP=r-1，
∴PD=2PC=2r-2，
∴AD=2r-3，
∵OD=$\sqrt{3}$OB，
∴r+2r-3=$\sqrt{3}$r，
∴r=$\frac{{3+\sqrt{3}}}{2}$，
∴扇形OAB的半径长为$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查圆的有关性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、四点共圆等知识，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形，学会用面积法求三角形的高，把问题转化为方程去思考，掌握用特殊三角形解决问题的思想方法，属于中考压轴题．