Question

2．如图，某部门计划在火车站A和大学城B之间修一条长为4公里的公路，经测量在火车站A北偏东60度方向，B西偏北45度方向C处有一圆形公园，要想计划修筑的公路不会穿过公园，则公园半径最大为2（$\sqrt{3}$-1）公里．

Answer 1

分析 过点C作CH⊥AB，H是垂足．AH与BH都可以根据三角函数用CH表示出来．根据AB的长，得到一个关于CH的方程，解出CH的长，即为公园半径的最大值．

解答 解：如图，过C作CH⊥AB于H，设CH=x，
由已知有∠EAC=45°，∠FBC=60°，
则∠CAB=30°，∠CBH=45°．
在Rt△ACH中，tan∠CAH=$\frac{CH}{AH}$，
∴AH=$\frac{CH}{tan30°}$=$\sqrt{3}$x，
在Rt△HBC中，BH=CH=x，
∵AH+HB=AB，
∴$\sqrt{3}$x+x=4，
解得x=2（$\sqrt{3}$-1）．
答：公园半径最大为2（$\sqrt{3}$-1）公里．
故答案为2（$\sqrt{3}$-1）公里．

点评 本题主要考查解直角三角形的应用，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．