Question

7．如图，顶角为36°的等腰三角形，其底边与腰之比等k，这样的三角形称为黄金三角形．已知腰AB=1，△ABC为第一个黄金三角形，△BCD为第二个黄金三角形，△CDE为第三个黄金三角形，以此类推，第2014个黄金三角形的周长（　　）

• A． k²⁰¹³
• B． k²⁰¹⁴
• C． $\frac{{k}^{2013}}{2+k}$
• D． k²⁰¹³（2+k）

Answer 1

分析 根据相似三角形对应角相等，对应边成比例，求出前几个三角形的周长，进而找出规律：第n个黄金三角形的周长为k^n-1（2+k），从而得出答案．

解答 解：∵AB=AC=1，
∴△ABC的周长为2+k；
△BCD的周长为k+k+k²=k（2+k）；
△CDE的周长为k²+k²+k³=k²（2+k）；
依此类推，第2014个黄金三角形的周长为k²⁰¹³（2+k）．
故选D．

点评 本题考查了黄金三角形，用到的知识点是黄金分割的定义和相似三角形的性质，找出各个三角形周长之间的关系，得出规律是本题的关键．