Question

6．如图，在?ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC的平分线交BC于点F，交AB的延长线于点G，过点C作CE⊥DG，垂足为E，CE=2，则△BFG的周长为4+$\frac{8\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 首先利用已知条件可证明△ADE是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出DE=2DG，而在Rt△ADG中，由勾股定理可求得DG的值，即可求得DE的长；然后，证明△ADE∽△BFE，再分别求出△ADE的周长，然后根据周长比等于相似比即可得到答案．

解答 解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE；，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠CDF=∠DFC，
∴CD=CF=6，
∵CE⊥DG，
∴DF=2DE，
在Rt△CDE中，∵∠DEC=90°，CD=6，CE=2，
∴DE=$\sqrt{C{D}^{2}-C{E}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴DF=2DE=8$\sqrt{2}$；
∴△CDF的周长=12+8$\sqrt{2}$，
∵CF=6，BC=AD=8，
∴BF=BC-CF=8-6=2，
∴CF：BF=6：2=3：1．
∵AB∥CD，
∴△CDF∽△BFG，
∴△CDF的周长：△BFG的周长=CF：BF=3：1，
则△BFG 周长=4+$\frac{8\sqrt{2}}{3}$．
故答案为：4+$\frac{8\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中．