Question

3．如图，在△ABC中，点Q，M在BC上，点P，N分别在AB，AC上，边BC=120毫米，高AD=80毫米，四边形PQMN为矩形，设△ABC的高AD与PN相交于点E．
（1）若这个矩形是正方形，则边长是多少？
（2）若这个矩形的长是宽的2倍，则长和宽各是多少？

Answer 1

分析 （1）PN与AD交于点E，设MN=xmm，则AE=AD-ED=80-x，再证明△APN∽△ABC，利用相似比可求出正方形边长；
（2）设长方形的宽为y毫米，由（1）得△APN∽△ABC，利用相似比列方程即可得到结果．

解答 解：（1）设正方形的边长为x毫米，
∵四边形PQMN为正方形，
∴PN∥QM，
∴△APN∽△ABC，
∴$\frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$，即$\frac{x}{120}=\frac{80-x}{80}$，
解得x=48，
∴正方形的边长是48mm；
（2）设长方形的宽为y毫米，由（1）得△APN∽△ABC，
∴$\frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$，即$\frac{y}{120}=\frac{80-2y}{80}$，或$\frac{2y}{120}=\frac{80-y}{80}$，
解得y=30或y=$\frac{240}{7}$，
∴长方形的宽为30mm，长为60mm或宽为$\frac{240}{7}$ mm，长为$\frac{480}{7}$ mm．

点评 本题考查了相似三角形的应用：利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等计算线段的长．