某公司开发了一种新产品.现要在甲地或者乙地进行销售.设年销售量为x(件).其中x＞0．若在甲地销售.每件售价y(元)与x之间的函数关系式.为y=-$\frac{1}{10}$x+100.每件成本为20元.设此时的年销售利润为w甲．若在乙地销售.受各种不确定因素的影响.每件成本为a元(a为常数.15≤a≤25 ).每件售价为106元.销售x(� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．某公司开发了一种新产品，现要在甲地或者乙地进行销售，设年销售量为x（件），其中x＞0．若在甲地销售，每件售价y（元）与x之间的函数关系式，为y=-$\frac{1}{10}$x+100，每件成本为20元，设此时的年销售利润为w_甲（元）（利润=销售额-成本）．
若在乙地销售，受各种不确定因素的影响，每件成本为a元（a为常数，15≤a≤25 ），每件售价为106元，销售x（件）每年还需缴纳$\frac{1}{10}{x^2}$元的附加费，设此时的年销售利润为w_乙（元）（利润=销售额-成本-附加费）．
（1）当a=16时且x=100是，w_乙=8000元；
（2）求w_甲与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围），并求x为何值时，w_甲最大以及最大值是多少？
（3）为完成x件的年销售任务，请你通过分析帮助公司决策，应选择在甲地还是在乙地销售才能使该公司所获年利润最大．
参考公式：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-$\frac{b}{2a}，\frac{{4ac-{b^2}}}{4a}$）．

分析（1）利用利润=销售额-成本-附加费得出w_乙的函数解析式为w_乙=（106-a）x-$\frac{1}{10}{x^2}$，代入数值求得答案即可；
（2）利用利润=销售额-成本求得w_甲与x之间的函数关系式，利用配方法求得最值即可；
（3）先计算得到w_乙-y_甲=（26-a）x，而15≤a≤25，则w_乙-y_甲＞0，接着比较两个函数的最大值，然后决定选择在甲地还是在乙地．

解答解：（1）w_乙=（106-a）x-$\frac{1}{10}{x^2}$，
当a=16时且x=100时，w_乙=90×100-1000=8000（元）；
（2）w_甲=（y-20）x=（-$\frac{1}{10}$x+100-20）x=-$\frac{1}{10}$x²+80x=-$\frac{1}{10}$（x-400）²+16000，
（3）w_乙-y_甲=（106-a）x-$\frac{1}{10}{x^2}$-（-$\frac{1}{10}$x²+80x）=（26-a）x，
而15≤a≤25，
∴w_乙-y_甲＞0，
对于w_乙=-$\frac{1}{10}$x²+（106-a）x，
当x=-$\frac{106-a}{2×（-\frac{1}{10}）}$=530-5a时，w_乙最大，最大值=$\frac{0-（106-a）^{2}}{4×（-\frac{1}{10}）}$=$\frac{5}{2}$（106-a）²，
∵15≤a≤25，
∴a=15时，x=455，w_乙最大值=$\frac{5}{2}$×（106-15）²=20702.5（元），
a=25时，x=405，w_乙最大值=$\frac{5}{2}$×（106-25）²=16402.5（元），
而x=400时，w_甲最大值=16000（元），
∴选择在乙地销售才能使该公司所获年利润最大．