Question

已知一反比例函数y=-

4

x

与一正比例函数的图象相交于点A和B，分别过点A、B作y的垂线，垂足为点C和D，连接AD和BC．
（1）求证：四边形ACBD为平行四边形；
（2）求四边形ACBD的面积．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）由反比例函数图象关于原点对称，且正比例函数图象过原点，得到OA=OB，再由一对直角相等，一对对顶角相等，利用AAS得到三角形AOC与三角形BOD全等，由全等三角形对应边相等得到AC=DB，再由AC与BD都与y轴对称，得到AC与BD平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形就可得证；
（2）由四边形ACBD为平行四边形，得到对角线互相平分，即OC=OD，OA=OB，利用同底等高的三角形面积相等得到三角形AOC，三角形AOD，三角形BOD以及三角形BOC面积都相等，求出三角形AOC面积乘以4即可得到平行四边形ACBD的面积．

解答：解：（1）∵一反比例函数y=-

4

x

与一正比例函数的图象相交于点A和B，
∴OA=OB，
∵AC⊥y轴，BD⊥y轴，
∴∠ACO=∠BDO=90°，
∴AC∥BD，
在△ACO和△BDO中，

∠ACO=∠BDO=90° ∠AOC=∠BOD OA=OB

，
∴△ACO≌△BDO（AAS），
∴AC=BD，
则四边形ACBD为平行四边形；
（2）∵四边形ACBD为平行四边形，
∴OA=OB，OC=OD，
∴S_△AOC=S_△BOD=S_△BOC=S_△AOD=

1

4

S_{四边形ACBD}，
设A坐标为（x，y），将A坐标代入反比例解析式代入得：|xy|=4，
则S_{四边形ACBD}=4S_△AOC=4×

1

2

|xy|=8．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，以及反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．