Question

如图，圆内接四边形ABDC中，DA平分∠BDC，
（1）请指出图中所有与∠ABC相等的角；
（2）当∠BDC等于多少度时，△ABC为正三角形？试说明理由．

Answer 1

考点：圆周角定理,等边三角形的判定

专题：

分析：（1）由DA平分∠BDC，根据角平分线的定义与圆周角定理，即可求得所有与∠ABC相等的角；
（2）由上题可得：当∠ABC=∠ACB=60°，即∠BDC=120°时，△ABC为正三角形．

解答：解：（1）∵DA平分∠BDC，
∴∠ADB=∠ADC，
∵∠ADC=∠ABC，∠ADB=∠ACB，
∴∠ABC=∠ADC=∠ADB=∠ACB．
∴与∠ABC相等的角有：∠ADB，∠ACB，∠ADC；              

（2）当∠BDC等于120°时，△ABC为正三角形，
∵∠ADB=∠ADC=

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∠BDC=60°，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠ACB=∠ADB=60°，
∴∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形．

点评：此题考查了圆周角定理、角平分线的定义以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．