Question

8．⊙O的直径为10，两条弦AB∥CD，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，AB=6，CD=8，则EF=7或1．

Answer 1

分析 分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，过O作OE⊥CD，交CD于点E，交AB于点F，连接OA，OC，由AB∥CD，得到OE⊥AB，利用垂径定理得到E与F分别为CD与AB的中点，在直角三角形AOF中，利用勾股定理求出OF的长，在三角形COE中，利用勾股定理求出OE的长，由OE-OF即可求出EF的长；当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理由OE+OF求出EF的长即可．

解答 解：分两种情况考虑：
当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，
过O作OF⊥AB，交AB于点F，交CD于点E，连接OA，OC，
∵AB∥CD，∴OE⊥CD，
∴F、E分别为AB、CD的中点，
∴AF=BF=$\frac{1}{2}$AB=4，CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=3，
在Rt△COE中，OC=5，CE=3，
根据勾股定理得：OE=4，
在Rt△AOF中，OA=5，AF=4，
根据勾股定理得：OF═3，
则EF=OE-OF=4-3=1；
当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理可得EF=4+3=7，
综上，弦AB与CD的距离为7或1．
故答案为：7或1．

点评 此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．