Question

18．如图1，在正方形ABCD中，E．F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G．
（1）求证：AE⊥BF；
（2）将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延长FP到BA的延长线于点Q，求sin∠BQP的值；
（3）将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积．

Answer 1

分析 （1）只要证明Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），即可推出∠BAE=∠CBF，由∠BAE+∠BEA=90°，推出∠CBF+∠BEA=90°，推出∠BGE=90°；
（2）首先证明QF=QB，设PF=k，则PB=2k，在Rt△BPQ中，设BQ=x，可得x²=（x-k）²+4k²，推出x=$\frac{5}{2}$k，根据sin∠BQP=$\frac{BP}{QB}$计算即可．
（3）由GN∥HM，推出△AGN∽△AHN，推出$\frac{{S}_{△AGN}}{{S}_{△AHM}}$=（$\frac{AN}{AM}$）²，推出$\frac{{S}_{△AGN}}{1}$=（$\frac{2}{\sqrt{5}}$）²，推出S_△AGN=$\frac{4}{5}$，根据四边形GHMN的面积=S_△AHM-S_△AGN计算即可．

解答 （1）证明：如图1中，

∵E、F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点，
∴CF=BE，
在Rt△ABE和Rt△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠BCF}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠BGE=90°，
∴AE⊥BF．

（2）解：如图2中，

由题意，FP=FC，∠FPB=∠C=90°，
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠ABF，
∴∠ABF=∠PFB，
∴QF=QB，设PF=k，则PB=2k，
在Rt△BPQ中，设BQ=x，
∴x²=（x-k）²+4k²，
∴x=$\frac{5}{2}$k，
∴sin∠BQP=$\frac{BP}{QB}$=$\frac{2k}{\frac{5}{2}k}$=$\frac{4}{5}$．

（3）如图3中，

∵正方形ABCD的面积为4，
∴边长为2，
∵∠BAE=∠EAM，AE⊥BF，
∴AN=AB=2，∵∠AHM=90°，
∴GN∥HM，
∴△AGN∽△AHN，
∴$\frac{{S}_{△AGN}}{{S}_{△AHM}}$=（$\frac{AN}{AM}$）²，
∴$\frac{{S}_{△AGN}}{1}$=（$\frac{2}{\sqrt{5}}$）²，
∴S_△AGN=$\frac{4}{5}$，
∴四边形GHMN的面积=S_△AHM-S_△AGN=1-$\frac{4}{5}$=$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质、翻折变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．