Question

19．（1）已知：如图1，在矩形ABCD中，M为边AD的中点，求证：△ABM≌△DCM；
（2）如图2，AB与⊙O相切于C，AO=BO，AB=16，⊙O的半径为6，求OA的长．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质可得出∠A=∠D、AB=DC，根据M为边AD的中点可得出AM=DM，再利用全等三角形的判定定理SAS即可证出△ABM≌△DCM；
（2）连接OC，根据切线的性质可得出OC⊥AB，由AO=BO利用等腰三角形的性质即可得出AC=8，在Rt△AOC中利用勾股定理即可求出OA的长度．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D，AB=DC．
∵M为边AD的中点，
∴AM=DM．
在△ABM和△DCM中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{∠A=∠D}\\{AM=DM}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△DCM（SAS）．
（2）解：在图2中，连接OC．
∵AB与⊙O相切于C，
∴OC⊥AB．
∵AO=BO，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=8．
在Rt△AOC中，∠ACO=90°，OC=6，AC=8，
∴OA=$\sqrt{O{C}^{2}+A{C}^{2}}$=10．

点评 本题考查了切线的性质、矩形的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用全等三角形的判定定理SAS证出△ABM≌△DCM；（2）构建合适的直角三角形，利用勾股定理求出OA的长度．