Question

1．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：
①abc＞0；②2a+b=0；③当x≠1时，a+b＞ax²+bx；④a-b+c＞0．
其中正确的有②③．

Answer 1

分析 由抛物线开口方向得到a＜0，由抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$＞0，得到b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，则abc＜0；由于抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=1，则b=-2a，得到2a+b=0；由于x=-1时，y＜0，于是有a-b+c＜0．

解答 解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=1，
∴b=-2a＞0，
∴2a+b=0，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴当x=1时的函数值是最大值，
∴a+b+c＞ax+bx+c（x≠1），
∴a+b＞ax+bx，所以③正确；
∵x=-1时，y＜0，
∴a-b+c＜0，所以④错误．
故答案为②③．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．