Question

9．如图，在四边形ABCD中，∠BCD是钝角，AB=AD，BD平分∠ABC，若CD=3，BD=$2\sqrt{6}$，sin∠DBC=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，求对角线AC的长．

Answer 1

分析 过D作DE⊥BC交BC的延长线于E，得到∠E=90°，根据三角形函数的定义得到DE=2$\sqrt{2}$，推出四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质得到AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=$\sqrt{6}$，根据勾股定理得到结论．

解答 解：过D作DE⊥BC交BC的延长线于E，
则∠E=90°，
∵sin∠DBC=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，BD=$2\sqrt{6}$，
∴DE=2$\sqrt{2}$，
∵CD=3，
∴CE=1，BE=4，
∴BC=3，
∴BC=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠CDB，
∴AB∥CD，
同理AD∥BC，
∴四边形ABCD是菱形，
连接AC交BD于O，
则AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=$\sqrt{6}$，
∴OC=$\sqrt{B{C}^{2}-B{O}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AC=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了菱形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．