Question

15．如图，一条高速公路在城市A的东偏北30°方向直线延伸，县城M在城市A东偏北60°方向上，测验员从A沿高速公路前行4000米到达C，测得县城M位于C的北偏西60°方向上，现要设计一条从县城M进入高速公路的路线，请在高速公路上寻找连接点N，使修建到县城M的道路最短，试确定N点的位置并求出最短路线长．（结果取整数，$\sqrt{3}$≈1.732）

Answer 1

分析 过M作MN⊥AC交于N点，即MN最短，根据方向角可以证得∠AMC=90°，根据三角函数即可求得MC，进而求得AN的长．

解答 解：如图，过M作MN⊥AC交于N点，即MN最短，
∵∠EAD=60°，∠CAD=30°，
∴∠CAM=30°，
∴∠AMN=60°，
又∵C处看M点为北偏西60°，
∴∠FCM=60°，
∴∠MCB=30°，
∵∠EAC=60°，
∴∠CAD=30°，
∴∠BCA=30°，
∴∠MCA=∠MCB+∠BCA=60°，
∴在Rt△AMC中，∠AMC=90°，∠MAC=30°，
∴MC=$\frac{1}{2}$AC=2000，∠CMN=30°，
∴NC=$\frac{1}{2}$MC=1000，
∵AC=4000米，
∴AN=AC-NC=4000-1000=3000（米）．
答：点N到A市最短路线3000米．

点评 本题主要考查了方向角含义，正确作出高线，证明△AMC是直角三角形是解题的关键．