Question

5．已知关于x的一元二次方程x²+2x+3k-6=0有两个不相等的实数根
（1）求实数k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程的定义和△的意义得到△=2²-4×1×（3k-6）=-12k+28＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围；
（2）由（1）的范围得到k=1或k=2，然后把k=1和2代入原方程，然后解方程确定满足条件的k值即可．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程x²+2x+3k-6=0有两个不相等的实数根，
△=2²-4×1×（3k-6）=-12k+28＞0，
∴k＜$\frac{7}{3}$，
∴k的取值范围是k＜$\frac{7}{3}$；

（2））∵k为正整数，
∴k=1或k=2，
当k=1时，原方程为x²+2x-3=0，解得x₁=-3，x₂=1，
当k=2是，原方程为x²+2x=0，解得x₁=0，x₂=-2，
∴k的值为1或2．

点评 本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．