题目内容

11．阅读下面材料：
小军遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=6，AC=4，点D为BC的中点，求AD的取值范围．

小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题．他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE=AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：AD的取值范围是1＜AD＜5．
参考小军思考问题的方法，解决问题：
如图3，△ABC中，E为AB中点，P是CA延长线上一点，连接PE并延长交BC于点D．求证：PA•CD=PC•BD．

分析 （1）延长AD到E，使DE=AD，连接BE，构造全等三角形，再根据三角形的三边关系得到结论．
（2）延长PD至点F，使EF=PE，连接BF，构造全等三角形，得到∠APE=∠F，BF=PA，通过相似三角形即可得出结论．

解答 解：（1）1＜AD＜5，
延长AD到E，使DE=AD，连接BE，
在△ACD与△EBD中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDE=∠ADC}\\{AD=DE}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CDA，
∴BE=AC，
∴2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5；

（2）证明：延长PD至点F，使EF=PE，连接BF，
∵BE=AE，∠BEF=∠AEP，
在△BEF与△AEP中，$\left\{\begin{array}{l}{EF=PE}\\{∠BEF=∠AEP}\\{BE=AE}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△AEP，
∴∠APE=∠F，BF=PA，
又∵∠BDF=∠CDP，
∴△BDF∽△CDP，
∴$\frac{BF}{PC}$=$\frac{BD}{CD}$，
∴$\frac{PA}{PC}$=$\frac{BD}{CD}$，
即PA•CD=PC•BD．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，相似三角形的判定和性质，理解倍长中线法是解题的关键．

练习册系列答案
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