Question

6．如图，ABC中，AB=AC=4$\sqrt{5}$，cosC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（1）动手操作：利用尺规作以AC为直径的⊙O，并标出⊙O与AB的交点D，与BC的交点E（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）综合应用：在你所作的圆中，求证：$\widehat{DE}=\widehat{CE}$；
（3）求△BDE的周长．

Answer 1

分析 （1）首先找出AC的中点O，然后以O为圆心，以AC长度的一半为半径，作出⊙O；然后标出⊙O与AB的交点D，与BC的交点E即可；
（2）如图2，连接OD，OE，，则OE∥AB，∠COE=∠BAC，∠DOE=∠ADO，判断出∠COE=∠DOE，然后根据圆心角定理，即可判断出$\overline{DE}=\overline{CE}$．
（3）如图3，在Rt△ACE中，，$cos∠ACB=\frac{CE}{AC}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，AC=4$\sqrt{5}$，求出CE的长度是多少；然后求出DE=CE=4，在Rt△BCD中，求出BD的长度是多少，再用BC的长度加上BD的长度，求出△BDE的周长是多少即可．

解答 （1）解：如图1，⊙O为所求，．   
（2）证明：如图2，连接OD，OE，，
则OE∥AB，∠COE=∠BAC，∠DOE=∠ADO，
又因为AO=DO，
所以∠BAC=∠ADO，
所以∠COE=∠DOE，
∴$\overline{DE}=\overline{CE}$．                    
（3）解：如图3，在Rt△ACE中，，
$cos∠ACB=\frac{CE}{AC}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，AC=4$\sqrt{5}$，
∴CE=AC•cos∠C=4$\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=4．   
∵AB=AC，∠AEC=90°，
∴∠B=∠ACB，BE=CE=4．
又∵DE=CE，∴DE=CE=4．
在Rt△BCD中，$cos∠B=\frac{BD}{BC}$，
∵$cos∠B=cos∠ACB=\frac{\sqrt{5}}{5}$，BC=8，
∴BD=BC$•cos∠B=8×\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∴△BDE的周长：l=BD+DE+BE=8+$\frac{8}{5}\sqrt{5}$．

点评 （1）此题主要考查了尺规作图的方法，解答此题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质逐步操作．
（2）此题还考查了圆心角定理的应用，以及解直角三角形的方法的应用，要熟练掌握．