Question

20．如图，在△ABC中，AB=BC，点E在边AB上，EF⊥AC于F．
（1）尺规作图：过点A作AD⊥BC于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：∠CAD=∠AEF；
（3）若∠ABC=45°，AD与EF交于点G，求证：EG=2AF．

Answer 1

分析 （1）以A点为圆心（半径要超过点A到直线BC的距离）画圆，交直线BC于M、N两点；分别以M、N两点为圆心（半径超过二分之一MN的长度）画弧交于一点，连接该点和A点并延长交直线BC于D点，则AD垂直于直线BC．（实际上作了一个等腰三角形AMN底边上的中点D）；
（2）根据垂直的定义可得出∠AEF+∠EAF=∠C+BAC=90°，再由等腰三角形的性质得出∠BAC=∠C，即可得出答案；
（3）过点E作EM∥BC，分别交AD、AC于点N、M，所以△AEN为等腰直角三角形，证明△ENG≌△ANM，得到BG=AM，再证明△EMA为等腰三角形，即可解答．

解答 解：（1）如图1，直线AD为BC的垂线；

（2）∵EF⊥AC，AD⊥BC，
∴∠AFE=∠ADC=90°，
∴∠BAC+∠AEF=90°，∠DCA+∠CAD=90°，
∵AB=BC，
∴∠BCA=∠BAC，
∴∠CAD=∠AEF；
（3）如图2，过点E作EM∥BC，分别交AD、AC于点N、M，

∵EM∥BC，
∴∠MEA=∠B=45°，∠ENA=∠ADB=90°，
∴△AEN为等腰直角三角形，
∴NE=NA，
∴∠ENA=∠ANM，
∵EF⊥AC，
∴∠EFA=90°，
∴∠ENA=∠EFA，
又∵∠EGN=∠AGF，
∴180°-∠ENA-∠EGM=180°-∠EFA-∠AGF，
即∠NEG=∠NAM，
在△ENG与△ANM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ENA=∠ANM}\\{NE=NA}\\{∠VEG=∠NAM}\end{array}\right.$，
∴△ENG≌△ANM，
∴EG=AM，
∵BC=BA，
∴∠C=∠BAC，
∵EM∥BC，
∴∠EMA=∠C，
∴∠EMA=∠BAC，
∴△EMA为等腰三角形，
∵EF⊥MA，
∴AM=2AF，
∴EG=2AF．

点评 本题考查了全等三角形的性质定理和判定定理、等腰三角形的性质，解决本题的关键是作辅助线，构建三角形全等．