Question

16．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E是OC上任意一点，AG⊥BE于点G，交BD于点F．
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，判断AF与BE的数量关系；
明明发现，AF与BE分别在△AOF和△BOE中，可以通过证明△AOF和△BOE全等，得到AF与BE的数量关系；
请回答：AF与BE的数量关系是AF=BE．
（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，请参考明明思考问题的方法，求$\frac{AF}{BE}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据四边形ABCD是菱形和∠ABC=120°，推出AC⊥BD，∠ABO=60°，所以∠FAO+∠AFO=90°，根据AG⊥BE，得到∠EAG+∠BEA=90°，∠AFO=∠BEA，又因为∠AOF=∠BOE=90°，推出三角形相似，即可得到结论．

解答 解：（1）AF=BE；  
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOB=∠BOC=90°，AO=BO，
∵AG⊥BE，∠AFO=∠BFG，
∴∠FAO=∠FBG，
在△AFO与△BFO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOF=∠BOE}\\{∠FAO=∠FBG}\\{AO=BO}\end{array}\right.$，
∴△AFO≌△BFO，
∴AF=BE；

（2）∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
∴AC⊥BD，∠ABO=60°，
∴∠FAO+∠AFO=90°，
∵AG⊥BE，
∴∠EAG+∠BEA=90°，
∴∠AFO=∠BEA，
又∵∠AOF=∠BOE=90°，
∴△AOF∽△BOE，
∴$\frac{AF}{BE}=\frac{AO}{OB}$，
∵∠ABO=60°，AC⊥BD，
∴$\frac{AO}{OB}=tan60°=\sqrt{3}$，
∴$\frac{AF}{BE}=\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，熟记定理是解题的关键．