Question

20．如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？
（1）①请帮小明在图2的画板内画出你的测量方案图（简要说明画法过程）；
②说出该画法依据的定理．
（2）小明在此基础上进行了更深入的探究，
①在图3的画板内，作出“直线a、b所成的跑到画板外面去的角”的平分线c（已知这条线平分线经过点M）．请你帮小明完成上面操作过程．（所有的线不能画到画板外，只能画在画板内）
②若直线a、b与画板的边直线l所成的钝角分别为130°、100°，试求①中所画的直线c与l所成的钝角．

Answer 1

分析 （1）方法一：利用平行线的性质；方法二：利用三角形内角和定理；
（2）首先作等腰三角形△PBD，然后延长BD交直线a于点A，则四边形ABPQ就是所求作的图形．作图依据是等腰三角形的性质与平行线的性质；
（3）作出线段AB的垂直平分线EF，由等腰三角形的性质可知，EF是顶角的平分线，故EF即为所求作的图形．

解答 解：（1）方法一：
①如图2，画PC∥a，量出直线b与PC的夹角度数，
即为直线a，b所成角的度数，
②依据：两直线平行，同位角相等，
方法二：
①如图2，在直线a，b上各取一点A，B，连接AB，测得∠1、∠2的度数，
则180°-∠1-∠2即为直线a，b所成角的度数；
②依据：三角形内角和为180°；

（2）①如图3，画PC∥a，以P为圆心，任意长为半径画弧，分别交直线b、PC于点B、D，连接BD并延长交直线a于点A，则四边形ABPQ就是所求等腰三角形在画板内的部分；作线段AB的垂直平分线EF，则EF就是所求作的线；
②∵a∥c，直线a与直线l所成的钝角为130°，
∴直线c与直线l所成的锐角为50°，
∴直线c与l所成的钝角为130°．

点评 本题涉及到的几何基本作图包括：（1）过直线外一点作直线的平行线，（2）作线段的垂直平分线；涉及到的考点包括：（1）平行线的性质；（2）等腰三角形的性质；（3）三角形内角和定理；（4）垂直平分线的性质等．本题借助实际问题场景考查了学生的几何基本作图能力，是一道好题．题目篇幅较长，需要仔细阅读，理解题意，正确作答．