Question

10．（1）如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A、B、C的距离分别为3、4、5，求∠AEB的度数．
（2）如图2，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，M、N为BC上的两点，且∠MAN=45°，MN²与NC²+BM²有何关系？请证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）连接FC，根据等边三角形的性质得出AE=AF=EF=3，AB=AC，∠AFE=60°，∠BAC=∠EAF=60°，求出∠BAE=∠CAF，证出△BAE≌△CAF，推出CF=BE=4，∠AEB=∠AFC，求出CE²=EF²+CF²，推出∠CFE=90°即可；
（2）将△ABM绕A点逆时钟选择90，得到△AFC，则AM=AF，CF=BM，∠BAM=∠CAF，∠B=∠ACF，求出∠NAF=∠MAN，证△MAN≌△FAN，推出MN=FN，求出∠FCN=90°，
由勾股定理得出NF²=CF²+CN²即可．

解答 （1）解：
连接FC，
∵△ABC和△AEF为等边三角形，
∴AE=AF=EF=3，AB=AC，∠AFE=60°，∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAF=60°-∠CAE，
在△BAE和△CAF中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$
∴△BAE≌△CAF，
∴CF=BE=4，∠AEB=∠AFC，
∴EF=3，CE=5，
∴CE²=EF²+CF²，
∴∠CFE=90°
∵∠AFE=60°，
∴∠AFC=90°+60°=150°，
∴∠AEB=∠AFC=150°；

（2）MN²=NC²+BM²，
证明：将△ABM绕A点逆时钟选择90，得到△AFC，
则AM=AF，CF=BM，∠BAM=∠CAF，∠B=∠ACF，
∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，
∴∠NAF=∠CAN+∠FAC=∠CAN+∠BAM=90°-45°=45°=∠MAN，
在△MAN和△FAN中
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AF}\\{∠MAN=∠FAN}\\{AN=AN}\end{array}\right.$
∴△MAN≌△FAN，
∴MN=FN，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵∠B=∠ACF，
∴∠ACF=45°，
∴∠FCN=90°，
由勾股定理得：NF²=CF²+CN²，
∵CF=BM，NF=MN，
∴MN²=NC²+BM²．

点评 本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，勾股定理的逆定理，等边三角形的性质的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，有一定的难度．