Question

6．实验中学为了鼓励同学们参加体育锻炼，决定为每个班级配备排球或足球一个，已知一个排球和两个足球需要140元，两个排球和一个足球需要230元．
（1）求排球和足球的单价．
（2）全校共有50个班，学校准备拿出不超过2400元购买这批排球和足球，并且要保证排球的数量不超过足球数量的$\frac{3}{7}$，问：学校共有几种购买方案？哪种购买方案总费用最低？

Answer 1

分析 （1）设排球的单价为x元，足球的单价为y元，根据题意列出方程组解答即可；
（2）设购买排球m个，根据题意列出不等式组解答即可．

解答 解：（1）设排球的单价为x元，足球的单价为y元，
根据题意，得$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=140}\\{2x+3y=230}\end{array}\right.$       
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=40}\\{y=50}\end{array}\right.$，
故排球的单价为40元，足球的单价为50元；
（2）设购买排球m个，则购买足球（50-m）个．
根据题意，得$\left\{\begin{array}{l}{40m+50（50-m）≤2400}\\{m≤\frac{3}{7}（50-m）}\end{array}\right.$，
解得10≤m≤15．
∵m是整数，
∴m=10，11，12，13，14，15．
∴有6种购买方案．
方案一：购买10个排球，40个足球；
方案二：购买11个排球，39个足球；
方案三：购买12个排球，38个足球；
方案四：购买13个排球，37个足球；
方案五：购买14个排球，36个足球；
方案六：购买15个排球，35个足球，
设购买排球和足球的总费用为W元，则W=40m+50（50-m）=-10m+2500，
∵-10＜0，
∴W随m的增大而减小．
∴当m=15时，总费用最低．
故第六种购买方案总费用最低．

点评 此题考查二元一次方程组的应用问题，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．