Question

5．如图1，已知AB∥CD，∠B=30°，∠D=120°；
（1）若∠E=60°，则∠F=90°；
（2）请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；
（3）如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．

Answer 1

分析 （1）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，根据平行线的性质得到∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，∠D+∠DFN=180°，代入数据即可得到结论；
（2）如图1，根据平行线的性质得到∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，由AB∥CD，AB∥FN，得到CD∥FN，根据平行线的性质得到∠D+∠DFN=180°，于是得到结论；
（3）如图2，过点F作FH∥EP，设∠BEF=2x°，则∠EFD=（2x+30）°，根据角平分线的定义得到∠PEF=$\frac{1}{2}$∠BEF=x°，∠EFG=$\frac{1}{2}$∠EFD=（x+15）°，根据平行线的性质得到∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG，于是得到结论．

解答 解：（1）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，
∴EM∥AB∥FN，
∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，
又∵AB∥CD，AB∥FN，
∴CD∥FN，
∴∠D+∠DFN=180°，
又∵∠D=120°，
∴∠DFN=60°，
∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，
∴∠EFD=∠MEF+60°
∴∠EFD=∠BEF+30°=90°；
故答案为：90°；

（2）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，
∴EM∥AB∥FN，
∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，
又∵AB∥CD，AB∥FN，
∴CD∥FN，
∴∠D+∠DFN=180°，
又∵∠D=120°，
∴∠DFN=60°，
∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，
∴∠EFD=∠MEF+60°，
∴∠EFD=∠BEF+30°；

（3）如图2，过点F作FH∥EP，
由（2）知，∠EFD=∠BEF+30°，
设∠BEF=2x°，则∠EFD=（2x+30）°，
∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，
∴∠PEF=$\frac{1}{2}$∠BEF=x°，∠EFG=$\frac{1}{2}$∠EFD=（x+15）°，
∵FH∥EP，
∴∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG，
∵∠HFG=∠EFG-∠EFH=15°，
∴∠P=15°．

点评 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．