Question

15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为AD的中点，F为BC边上一动点，设BF=t（0≤t≤2），线段EF的垂直平分线GH分别交边CD，AB于点G，H，过E做EM⊥BC于点M，过G作GN⊥AB于点N．
（1）当t≠2时，求证：△EMF≌△GNH；
（2）顺次连接E、H、F、G，设四边形EHFG的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值．

Answer 1

分析 （1）只要证明EM=GN，∠1=∠2，即可利用ASA证明．
（2）根据S=$\frac{1}{2}$•EF•GH计算，利用二次函数的性质即可解决问题．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，EM⊥BC，GN⊥AB，
∴EM=GN=AB=AD，
∵∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°，∠3=∠4，
∴∠1=∠2，
在△EMF和△GNH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{EM=GN}\\{∠ENF=∠GNH}\end{array}\right.$，
∴△EMF≌△GNH．

（2）∵△EMF≌△GNH，
∴EF=GH，
∵BF=t，BM=2，
∴FM=2-t，
∴EF²=4²+（2-t）²，
∵S=$\frac{1}{2}$•EF•GH=$\frac{1}{2}$（x-2）²+8，
∵0≤t≤2，
∴t=2时，S有最小值，最小值为8．

点评 本题科学正方形的性质、全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质、二次函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，记住对角线垂直的四边形的面积的计算方法，学会利用二次函数的性质解决最值问题，属于中考常考题型．