Question

10．如图，△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，E、F分别为AC、AB中点，过E、F两点作⊙O，延长AC交⊙O于D，若∠CDO=$\frac{1}{2}$∠B，则⊙O的半径为（　　）

• A． 13
• B． $2\sqrt{26}$
• C． $3\sqrt{26}$
• D． $\frac{27}{2}$

Answer 1

分析 连接OE、OF，先证BF为直径，再根据等腰三角形的性质找出BG和CG的长度；由EF∥BC，找出△DCG∽△DEF，根据相似三角形的性质找出DE的长，在Rt△DFE中由勾股定理得出直径DF的长度，从而得出结论．

解答 解：连接OF交BC于G，连接OE，如图所示．

∵AC=5，BC=12，∠ACB=90°，
∴AB=13，
∵E、F分别为AC、AB的中点，
∴EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC=6，EC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{5}{2}$，
∵OE=OF，
∴∠OEF=∠OFE，
∵EF∥BC，
∴∠DEF=∠DCB=90°，
∴DF为直径，
∴∠BGF=∠OFE，
∵∠D=$\frac{1}{2}$∠EOF，∠CDO=$\frac{1}{2}$∠B，
∴∠EOF=∠B，
∴∠OEF=∠BFG，
∴∠BGF=∠BFG，
∴BG=BF=$\frac{13}{2}$，CG=$\frac{11}{2}$，
∵EF∥BC，
∴△DCG∽△DEF，
∴$\frac{CD}{DE}$=$\frac{CG}{EF}$，
∴CD=11CE=$\frac{55}{2}$，
∴DE=30，
在Rt△DFE中，EF=6，DE=30，
∴DF=$\sqrt{E{F}^{2}+D{E}^{2}}$=6$\sqrt{26}$．
∴⊙O的半径为3$\sqrt{26}$．
故选C．

点评 本题考查了三角形中位线定理、圆周角定理、相似三角形判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：先证出DF为⊙O的直径，再相似三角形的性质找到DE的长度，由勾股定理得出结论．本题属于中档题，难度不小，题中用到的知识点较多，这就需要学生有良好的思维能力，先找什么，再找什么，理清头绪．