Question

15．如图，△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，BA⊥AC，ED⊥BD，垂足分别为点A、点D，连接EC，F为线段EC的中点，连接DF、AF，则下列说法：①DF⊥AF；②DF=AF；③DF=BE，其中正确的有（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 ①②正确，连接BF，延长DF交AC于点G，利用等腰三角形的性质得到∠DEF=∠DBF，可证得DG∥BC，得出△ADG为等腰在角形，再证明△DEF≌△GFC得DF=FG，根据三线合一即可得出结论．

解答 证明：连接BF，延长DF交AC于点G，
∵∠EBD=∠ABC=45°，
∴∠EBC=90°，
在RT△EBC中，F为斜边中点，
∴BF=EF，
∴∠FBC=∠FCB，
∴∠DFE=∠DFB，
∵∠EFB=∠FBC+∠FCB，
∴∠DFE+∠DFB=∠FBC+∠FCB，
∴2∠DFB=2∠FBC，
则∠DFB=∠FBC，
∴DG∥BC，
∵△BAC为等腰直角三角形，且DG∥BC，AB=AC，
∴AD=AG，BD=CG，
∵BD=DE，
∴DE=CG，
∵∠BDE=∠CAB=90°，
∴DE∥AC，
∴∠DEF=∠GCF，
在△DEF和△GCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=CF}\\{∠DEF=∠GCF}\\{DE=CG}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△GCF（SAS），
∴DF=FG，
∵△DAG为等腰直角三角形，
∴AF⊥DG，AF=DF．
∵BE=$\sqrt{2}$BD，DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD，
如图BE=DF那么AD=2BD，显然与条件不符合．
故①②正确，
故选A．

点评 本题主要考查三角形全等的判定和性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，证得△ADG为等腰三角形．