Question

2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为边AB的中点，E，F分别为边AC，BC上的点，且AE=AD，BF=BD．若DE=2$\sqrt{2}$，DF=4，则AB的长为4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 延长FD到M使得DM=DF，连接AM、EM、EF，作EN⊥DF于N，先证明∠EDF=45°，在RT△EMN中求出EM，再证明△AEM是等腰直角三角形即可解决问题．

解答 解：如图，延长FD到M使得DM=DF，连接AM、EM、EF，作EN⊥DF于N．
∵∠C=90°，
∴∠BAC+∠B=90°，
∵AE=AD，BF=BD，
∴∠AED=∠ADE，∠BDF=∠BFD，
∴2∠ADE+∠BAC=180°，2∠BDF+∠B=180°，
∴2∠ADE+2∠BDF=270°，
∴∠ADE+∠BDF=135°，
∴∠EDF=180°-（∠ADE+∠BDF）=45°，
∵∠END=90°，DE=2$\sqrt{2}$，
∴∠EDN=∠DEN=45°，
∴EN=DN=2，
在△DAM和△DBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=DB}\\{∠ADM=∠BDF}\\{DM=DF}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△BDF，
∴BF=AM=BD=AD=AE，∠MAD=∠B，
∴∠MAE=∠MAD+∠BAC=90°，
∴EM=$\sqrt{2}$AM，
在RT△EMN中，∵EN=2，MN=DM+DN=6，
∴EM=$\sqrt{E{N}^{2}+M{N}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∴AM=2$\sqrt{5}$，AB=2AM=4$\sqrt{5}$．
故答案为4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质，解题的突破口是添加辅助线构造RT△EMF以及倍长中线构造全等三角形，题目有点难度．