Question

18．郑州市北环彩虹桥在上下班高峰期经常堵车，交通管理部门为了解交通拥堵情况，进行了统计分析，桥上的车流速度v（km/h）关于车流密度x（辆/km）的函数图象如图所示．
（1）请直接写出v与x之间的函数关系式；
（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于30km/h且小于50km/h，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？
（3）车流量y（辆/h）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即车流量=车流速度×车流密度，求大桥上车流量的最大值．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系数法求一次函数解析式进而得出答案；
（2）由题知：30＜-$\frac{1}{2}$x+90＜50时，解不等式组即可得到结论；
（3）根据题意得：y=vx=（-$\frac{1}{2}$x+90）x=-$\frac{1}{2}$x²+90x，化成顶点式y=-$\frac{1}{2}$（x-90）²+8100，即可得到结论．

解答 解：（1）当0＜x＜20时，v=80，
当20≤x＜180时，
设一次函数表达式是V=kx+b，
把两点坐标（20，80）（180，0）分别代入，得$\left\{\begin{array}{l}{20k+b=80}\\{180k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=90}\\{\;}\end{array}\right.$，
故V关于x的一次函数表达式是v=-$\frac{1}{2}$x+90；

（2）由题知：30＜-$\frac{1}{2}$x+90＜50时，
解得：80＜x＜120．
即车流速度大于30km/h且小于50km/h时，大桥上的车流密度应控制在大于80辆/km＜x＜120辆/km；

（3）根据题意得：y=vx=（-$\frac{1}{2}$x+90）x=-$\frac{1}{2}$x²+90x，
即y=-$\frac{1}{2}$（x-90）²+8100，
故大桥上车流量的最大值是8100辆/h．

点评 此题主要考查了一次函数和二次函数的应用以及函数最值求法，得出P与x的函数关系式是解题关键．