Question

17．在?ABCD中，M是AD的中点，N是DC的中点，BM=1，BN=2，∠MBN=60°，求BC的长．

Answer 1

分析 如图延长DM交CB的延长线于H，作MK⊥AD于K，先证明△AMB≌△DMH，得BH=BN，△HBN是等边三角形，可以求出AB=DH=$\frac{4}{3}$，在RT△BNK和RT△AKM中利用勾股定理即可解决．

解答 解：如图延长DM交CB的延长线于H，作MK⊥AD于K．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD∥AB，AD=BC，AB=CD，
∴∠A=∠HDM，
在△AMD和△BMH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠HDM}\\{AM=DM}\\{∠AMB=∠HMD}\end{array}\right.$，
∴△AMB≌△DMH，
∴AB=DH，BM=MH=2，
∵BN=2，∠HBN=60°，
∴BH=BN，
∴△BHN是等边三角形，
∴HN=2，∵BN=NC=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$NH，∠H=∠ABM=60°，
∴AB=DH=$\frac{4}{3}$，
在RT△MKB中，∵∠MKB=90°，MB=1，∠MBK=60°，
∴BK=$\frac{1}{2}$BM=$\frac{1}{2}$，KM=$\sqrt{3}$BK=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AK=AB-BK=$\frac{5}{6}$，
∴AM=$\sqrt{A{K}^{2}+K{M}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{6}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$，
∴BC=AD=2AM=$\frac{\sqrt{13}}{3}$．

点评 本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，得出△BNH是等边三角形这个突破口，属于中考常考题型．