Question

1．观察下列各式及其验证过程：$\sqrt{2+\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}$，验证：$\sqrt{2+\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{8}{3}}=\sqrt{\frac{{{2^2}×2}}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}$．$\sqrt{3+\frac{3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}$，验证：$\sqrt{3+\frac{3}{8}}=\sqrt{\frac{27}{8}}=\sqrt{\frac{{{3^2}×3}}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}$．
（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想$\sqrt{4+\frac{4}{15}}$的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用a（a为任意自然数，且a≥2）表示的等式，并给出验证．
（3）针对三次根式及n次根式（n为任意自然数，且n≥2），有无上述类似的变形？如果有，写出用a（a为任意自然数，且a≥2）表示的等式，并给出验证．

Answer 1

分析 （1）利用已知，观察$\sqrt{2+\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{8}{3}}=\sqrt{\frac{{{2^2}×2}}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}$．$\sqrt{3+\frac{3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}$，可得$\sqrt{4+\frac{4}{15}}$的值；
（2）由（1）根据二次根式的性质可以总结出一般规律；
（3）利用已知可得出三次根式的类似规律，进而验证即可．

解答 解：（1）$\sqrt{4+\frac{4}{15}}$=4$\sqrt{\frac{4}{15}}$，
理由是：$\sqrt{4+\frac{4}{15}}$=$\sqrt{\frac{64}{15}}$=$\sqrt{\frac{{4}^{2}×4}{15}}$=4$\sqrt{\frac{4}{15}}$；

（2）由（1）中的规律可知3=2²-1，8=3²-1，15=4²-1，
∴$\sqrt{a+\frac{a}{{a}^{2}-1}}$=a$\sqrt{\frac{a}{{a}^{2}-1}}$，
验证：$\sqrt{a+\frac{a}{{a}^{2}-1}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{3}}{{a}^{2}-1}}$=a$\sqrt{\frac{a}{{a}^{2}-1}}$；正确；

（3）$\root{3}{a+\frac{1}{{a}^{3}-1}}$=a$\root{3}{\frac{a}{{a}^{3}-1}}$（a为任意自然数，且a≥2），
验证：$\root{3}{a+\frac{1}{{a}^{3}-1}}$=$\root{3}{\frac{{a}^{4}-a+a}{{a}^{3}-1}}$=$\root{3}{\frac{{a}^{4}}{{a}^{3}-1}}$=a$\root{3}{\frac{a}{{a}^{3}-1}}$．

点评 此题主要考查二次根式的性质与化简，善于发现题目数字之间的规律，是解题的关键．