Question

10．已知反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象上有A（1，m）、B（a，b）、C（n，1）三点，其中1＜a＜4，则△ABC的最大面积是$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 首先根据反比例函数图象上点的坐标特点求出B、C两点坐标，然后再过A、C作AM⊥CM，再过B作BN⊥CM，△ABC的面积=△AMC的面积-梯形AMNB的面积-△BNC的面积即可．

解答 解：∵反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象上有三点A（1，m）、B（a，b）、C（n，1），
∴m=4，n=4，
∴A（1，4），C（4，1），
∴A、C关于直线y=x对称，
∵1＜a＜4，
∴当B点是直线y=x和y=$\frac{4}{x}$的交点时，△ABC的面积最大，
∴B（2，2），
过A、C作AM⊥CM，再过B作BN⊥CM，
则△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$×AM×CM-$\frac{1}{2}$（AM+BN）×NM-$\frac{1}{2}$BN×CN=$\frac{1}{2}$×3×3-$\frac{1}{2}$（1+3）×1-$\frac{1}{2}$×1×2=$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例图象上横、纵坐标的积是定值k．