Question

15．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=x²+bx+c的顶点，则方程x²+bx+c=1的解的个数是（　　）

• A． 0或2
• B． 0或1
• C． 1或2
• D． 0，1，或2

Answer 1

分析 令y=x²+bx+c，y=1，要求方程x²+bx+c=1的解的个数，只需求抛物线y=x²+bx+c与直线y=1有没有交点即可．

解答 解：由抛物线y=x²+bx+c的图象可知，该抛物线与x轴没有交点
            即：△＜0
            则：b²-4c＜0
           又点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，点M的坐标为：（-$\frac{b}{2}$，$\frac{4c-{b}^{2}}{4}$）
           所以，0＜$\frac{4c-{b}^{2}}{4}$＜2
                     0＜4c-b²＜8，
-8＜b²-4c＜0，
         令y=x²+bx+c-1，则要求方程x²+bx+c=1的解得个数，只需判定抛物线y=x²+bx+c-1与x轴有无交点及交点的个数即可．
          又因为，△=b²-4ac=b²-4（c-1）=b²-4c+4
          所以，-4＜b²-4c+4＜4
          即：①当-4＜b²-4c+4＜0时，抛物线y=x²+bx+c-1与x轴没有交点；
                 ②b²-4c+4=0时，抛物线y=x²+bx+c-1与x轴有一个交点；
                 ③0＜b²-4c+4＜4时，抛物线y=x²+bx+c-1与x轴有两个交点．
        故：选D

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点问题，解题的关键是理解二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系．