Question

3．问题情境：（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE=DH；
类比探究：（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由；
综合运用：（3）在（2）问条件下，HF∥GE，如图3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质可得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．又由∠ADO+∠OAD=90°，可证得∠HAO=∠ADO，继而证得△ABE≌△DAH，可得AE=DH；
（2）将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF，将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH．根据（1）的结论得AM=DN，所以EF=GH；
（3）过点F作FP⊥BC于点P，易证得△AHF∽△CGE，即可求得EC，AF的长，继而求得EF的长，然后由平行线分线段成比例定理，求得$\frac{FO}{FE}$=$\frac{HO}{HG}$，然后分别求出△FOH与△EOG的面积，即可求得答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．
∴∠HAO+∠OAD=90°．
∵AE⊥DH，
∴∠ADO+∠OAD=90°．
∴∠HAO=∠ADO，
在△ABE和△DAH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠HAO=∠DAH}\\{AB=AD}\\{∠B=∠HAD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DAH（ASA），
∴AE=DH．

（2）解：EF=GH．
理由：如图2，将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF．
将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH．
∵EF⊥GH，
∴AM⊥DN，
根据（1）的结论得AM=DN，
∴EF=GH；

（3）解：如图3，过点F作FP⊥BC于点P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠AHO=∠CGO，
∵FH∥EG，
∴∠FHO=∠EGO，
∴∠AHF=∠CGE，
∴△AHF∽△CGE，
∴$\frac{AF}{CE}$=$\frac{FH}{EG}$=$\frac{FO}{OE}$=$\frac{1}{2}$，
∵EC=2，
∴AF=1，
∴在Rt△FPE中，EF=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∵FH∥EG，
∴$\frac{FO}{FE}$=$\frac{HO}{HG}$，
由（2）得：HG=EF，
∴FO=HO，
∴S_△FOH=$\frac{1}{2}$FO²=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$EF）²=$\frac{17}{18}$，S_△EOG=$\frac{1}{2}$EO²=$\frac{1}{2}$×（$\frac{2}{3}$EF）²=$\frac{68}{18}$，
∴阴影部分的面积=$\frac{17}{18}$+$\frac{68}{18}$=$\frac{85}{18}$．
∴阴影部分的面积为：$\frac{85}{18}$．

点评 此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．