Question

20．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为点P，动点M，N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB，OC上向点B，C方向运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H．
（1）当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标；
（2）是否存在这样的点F，使△PFB为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）表示出ON、MH，运用ON=MH，列方程求解即可，
（2）存在，先求出BC的解析式，根据互相垂直的直线一次项系数积等于-1，直线经过点P，待定系数法求出直线PF的解析式，求直线BC与直线PF的交点坐标即可．

解答 解：（1）当y=0时，-$\frac{1}{2}$x²+x+4=0，解，得x=-2，4，
∴点B的坐标为（4，0）
当x=0时，y=4，所以点C的坐标为（0，4）
∴直线BC的解析式为y=-x+4，
根据题意，OM=ON=t，MH=-$\frac{1}{2}$t²+t+4，
∵ON∥MH，
∴当ON=MH时，四边形OMHN为矩形，
即：t=-$\frac{1}{2}$t²+t+4，
解，得t=$2\sqrt{2}$，或t=$-2\sqrt{2}$（不合题意，舍去），
把t=$2\sqrt{2}$代入y=-$\frac{1}{2}$t²+t+4得，y=2$\sqrt{2}$，
∴H（$2\sqrt{2}，2\sqrt{2}$），
（2）存在，
当PF⊥BC时，
∵直线BC的解析式为y=-x+4，
∴设PF的解析式为y=x+b，又点P（1，$\frac{9}{2}$）代入求得，b=$\frac{7}{2}$，
∴根据题意列方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=x+\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{4}}\\{y=\frac{15}{4}}\end{array}\right.$，
∴点F（$\frac{1}{4}，\frac{15}{4}$），
当PF⊥BP时，
∵点P（1，$\frac{9}{2}$），B（4，0），
∴直线BP的解析式为：y=$-\frac{3}{2}x+6$，
∴设PF的解析式为y=$\frac{2}{3}$x+b，又点P（1，$\frac{9}{2}$）代入求得b=$\frac{23}{6}$，
∴根据题意列方程组：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{2}{3}x+\frac{23}{6}}\end{array}\right.$，
解，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{10}}\\{y=\frac{39}{10}}\end{array}\right.$，
∴点F（$\frac{1}{10}$，$\frac{39}{10}$），
综上所述，△PFB为直角三角形时，点F的坐标为（$\frac{1}{4}，\frac{15}{4}$）或（$\frac{1}{10}$，$\frac{39}{10}$）．

点评 本题考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、两点间的距离公式以及矩形和直角三角形，解题的关键：（1）待定系数法求函数解析式；（2）两直线互相垂直一次项系数积为-1．