Question

10．已知：菱形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AC=2a，BD=2b，求△AEF的面积．

Answer 1

分析 首先根据题意作出图形，然后由菱形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，证得△AEB≌△AFD（AAS），即可得AE=AF，继而证得△AEF∽△DAC，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠ADF=∠ABE，AC⊥BD，OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×2a=a，OD=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$×2b=b，
∴CD=$\sqrt{O{C}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
又∵AE⊥BC，AF⊥DC，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠AFD}\\{∠ABE=∠ADF}\\{AB=AD}\end{array}\right.$
∴△AEB≌△AFD（AAS），
∴AF=AE，
∵BD⊥AC，
∴∠CDB+∠ACD=90°，
∵∠ACD+∠FAC=90°，
∴∠CDB=∠FAC，
同理：∠EAC=∠CBD，
∵∠CDB=∠CBD，
∴∠FAC=∠EAC=$\frac{1}{2}$∠FAE，
∵∠CDB=$\frac{1}{2}$∠CAD，
∴∠FAE=∠CDA，
∵AD=CD，AE=AF，
∴AD：AE=DC：AF，
∴△AEF∽△DAC，
∴S_△AEF：S_△DAC=（$\frac{AF}{CD}$）²，
∵S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×2a×2b=2ab，
∴S_△DAC=$\frac{1}{2}$S_菱形ABCD=ab，AF=$\frac{{S}_{菱形ABCD}}{CD}$=$\frac{2ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，
∴S_△AEF=$\frac{4{a}^{3}{b}^{3}}{（{a}^{2}+{b}^{2}）^{2}}$．

点评 此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．注意证得△AEF∽△DAC是解此题的关键．