Question

1．已知：四边形ABCD是正方形，E是AB边上一点，F是BC延长线上一点，且DE=DF．
（1）如图1，求证：DF⊥DE；
（2）如图2，连接AC，EF交于点M，求证：M是EF的中点．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出DA=DC，∠DAE=∠DCB=90°．得出∠DAE=∠DCF．由HL证明Rt△DAE≌Rt△DCF，得出∠ADE=∠CDF，证出∠EDF=90°即可；
（2）证明；过点F作GF⊥CF交AC的延长线于点G，则∠GFC=90°．AB∥GF．得出∠BAC=∠G．由正方形的性质证出FC=FG．得出AE=FG．由AAS证明△AEM≌△GFM，得出ME=MF即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=DC，∠DAE=∠DCB=90°．
∴∠DCF=180°-90°=90°．
∴∠DAE=∠DCF．
在Rt△DAE和Rt△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{DA=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△DAE≌Rt△DCF（HL）．
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠CDF+∠CDE=90°，
即∠EDF=90°，
∴DF⊥DE．
（2）证明；过点F作GF⊥CF交AC的延长线于点G，
则∠GFC=90°．
∵正方形ABCD中，∠B=90°，
∴∠GFC=∠B．
∴AB∥GF．
∴∠BAC=∠G．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=45°．
∴∠BAC=∠BCA=∠FCG=∠G=45°．
∴FC=FG．
∵△DAE≌△DCF，
∴AE=CF．
∴AE=FG．
在△AEM和△GFM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AME=∠GMF}&{\;}\\{∠EAM=∠G}&{\;}\\{AE=GF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△GFM（AAS）．
∴ME=MF．
即M是EF的中点．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．