Question

5．如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M，有下面4个结论：
①射线BD是∠ABC的角平分线；
②△BCD是等腰三角形；
③∠A=∠CBD；
④△AMD≌△BCD．
（1）判断其中正确的结论是哪几个？
（2）从你认为是正确的结论中选一个加以证明．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质进行判断即可；
（2）利用（1）的结论解答即可．

解答 解：（1）∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵MN是AB的中垂线，
∴DA=DB，
∴∠ABD=∠A=36°，
∴∠ABD=∠CBD=36°，即射线BD是∠ABC的角平分线，①正确；
∵∠CBD=36°，∠ACB=72°，
∴∠BDC=72°，
∴∠ACB=∠BDC，即△BCD是等腰三角形，②正确；
∠A=∠CBD=36°，③正确；
△AMD是直角三角形，△BCD是锐角三角形，
∴△AMD与△BCD不全等，④错误，
正确的结论是①②③；
（2）射线BD是∠ABC的角平分线，
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵MN是AB的中垂线，
∴DA=DB，
∴∠ABD=∠A=36°，
∴∠ABD=∠CBD=36°，即射线BD是∠ABC的角平分线．

点评 本题考查的是等腰三角形的判定、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．