Question

17．如图，已知直线y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{7}{2}$与x轴、y轴分别相交于B、A两点，抛物线y=ax²+bx+c经过A、B两点，且对称轴为x=-3．
（1）求A、B两点的坐标，并求抛物线的解析式；
（2）若点P以1个单位/秒的速度从点B沿x轴向点O运动，过点P作y轴的平行线交直线AB于点M，交抛物线于点N，设点P运动的时间为t，MN的长度为s，求s与t之间的函数关系式，并求出当t为何值时，s取得最大值？

Answer 1

分析 （1）根据直线的解析式分别令x=0、y=0，即可求得A、B的坐标，然后设出抛物线的顶点式，用待定系数法得到二次函数的解析式即可．
（2）设BP=t（0＜t＜7），则OP=7-t，P（t-7，0），M（t-7，$\frac{t}{2}$），N（t-7，-$\frac{1}{2}$（t-7+3）²+8），即可得出s=MN=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{7}{2}$t（0＜t＜7），由-$\frac{1}{2}$＜0，可知S有最大值，然后根据二次函数的性质即可求得s的最大值．

解答 解：（1）∵直线y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{7}{2}$与x轴、y轴分别相交于B、A两点，
∴令x=0，则y=$\frac{7}{2}$，令y=0，则x=-7，
∴A（0，$\frac{7}{2}$），B（-7，0），
∵抛物线的对称轴为直线x=-3．
∴设抛物线的解析式为y=a（x+3）²+n，
∵抛物线过A（0，$\frac{7}{2}$），B（-7，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+n=\frac{7}{2}}\\{16a+n=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{n=8}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+3）²+8．
（2）设BP=t（0＜t＜7），则OP=7-t，
∴P（t-7，0）
∵由于MP与y轴平行，且点M在直线AB上
∴M（t-7，$\frac{t}{2}$），
∵MN与y轴平行，且点N在抛物线上
∴N（t-7，-$\frac{1}{2}$（t-7+3）²+8），
∴s=MN=-$\frac{1}{2}$（t-7+3）²+8-$\frac{t}{2}$=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{7}{2}$t（0＜t＜7），
∵-$\frac{1}{2}$＜0，即S有最大值
∴当t=-$\frac{\frac{7}{2}}{2×（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{7}{2}$时，s_最大=-$\frac{1}{2}$×（$\frac{7}{2}$）²+$\frac{7}{2}$×$\frac{7}{2}$=$\frac{49}{8}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和一次函数的解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．