Question

9．已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，A（1，0）．
（1）若a=-1，函数图象与x轴只有一个交点，求b的值；
（2）若c=1，0＜a＜1，设B点的横坐标为x_B，求证：x_B＞1；
（3）若a=1，c≥3，问是否存在实数m，使得z=y-m²x在x＞0时，z随x的增大而增大？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据条件抛物线化为：y=-x²+bx-b+1，由△=0即可解决问题．
（2）根据条件抛物线化为：y=ax²-（a+1）x+1，令y=0求出点B横坐标即可．
（3）不存在．由题意：z=y-m²x=x²-（c+1+m²）x+c，根据对称轴的位置即可判断．

解答 解：（1）把点A（1，0）代入y=ax²+bx+c得a+b+c=0，
∵a=-1，∴c=-b+1，
∴抛物线为y=-x²+bx-b+1，
由题意△=0，
∴b²-4b+4=0，
∴（b-2）²=0，
∴b=2．
（2）∵b=-a-c，c=1，
∴抛物线为y=ax²-（a+1）x+1，
令y=0，则有ax²-（a+1）x+1=0，
∴（x-1）（ax-1）=0，
∴x=1或$\frac{1}{a}$，
∵0＜a＜1，
∴$\frac{1}{a}$＞1，
∴B点的横坐标为x_B＞1．
（3）不存在．理由如下：
∵b=-a-c，a=1，
∴b=-1-c，
∴抛物线为y=x²-（c+1）x+c，
∴z=y-m²x=x²-（c+1+m²）x+c，
∵对称轴x=$\frac{c+1+{m}^{2}}{2}$，
又∵c≥3，m²≥0，
∴对称轴x＞0．
∴当0＜x＜$\frac{c+1+{m}^{2}}{2}$时，z随x的增大而减小，
∴这样的m不存在．

点评 本题考查抛物线与x轴交点问题，学会利用参数解决问题是解题的关键，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．