Question

12．如图，将矩形ABCD沿DE折叠，点A恰好落在BC上的点F处，点G、H分别在AD、AB上，且FG⊥DH，若tan∠ADE=$\frac{1}{2}$，则$\frac{GF}{DH}$的值为（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 利用翻折变换的性质得出△EBF∽△FCD，进而求出$\frac{DC}{BC}$的值，再利用已知得出得△GNF∽△DAH，则$\frac{GN}{AD}$=$\frac{FG}{DH}$=$\frac{DC}{BC}$=$\frac{4}{5}$．

解答 解：∵将矩形ABCD沿DE折叠，点A恰好落在BC上的点F处，
∴AE=EF，∠EFD=90°，
∴∠EFB+∠DFC=90°，
∵∠DFC+∠CDF=90°，
∴∠CDF=∠EFB，
又∵∠B=∠C，
∴△EBF∽△FCD，
∵tan∠ADE=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠EFD=$\frac{EF}{DF}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BE}{FC}$=$\frac{BF}{DC}$=$\frac{1}{2}$，
∴设BE=a，BF=x，则FC=2a，DC=2x，
故EF+BE=DC，
则$\sqrt{{a}^{2}+{x}^{2}}$+a=2x，
整理得：a=$\frac{3}{4}$x，
故$\frac{DC}{BC}$=$\frac{2x}{2×\frac{3}{4}x+x}$=$\frac{4}{5}$，
过点G作GN⊥BC于点N，
∵FG⊥DH，
∴∠GMD=90°，
又∵∠GDM=∠ADH，
∴△GMD∽△HAD，
∴可得△GNF∽△DAH，
∴$\frac{GN}{AD}$=$\frac{FG}{DH}$=$\frac{DC}{BC}$=$\frac{4}{5}$．
故选：B．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质和翻折变换的性质，正确得出$\frac{DC}{BC}$是解题关键．