Question

1．在等腰△ABC中，CA=CB，点D，E在射线AB上，不与A，B重合（D在E的左边），且∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACB．
（1）如图1，若∠ACB=90°，将△CAD沿CD翻折，点A与M重合，求证：△MCE≌△BCE；
（2）如图2，若∠ACB=120°，且以AD、DE、EB为边的三角形是直角三角形，求$\frac{AD}{EB}$的值；
（3）∠ACB=120°，点D在射线AB上运动，AC=3，则AD的取值范围为0＜AD＜2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）由对折得到∠A=∠CMD=45°=∠B，∠ACD=∠MCD，CM=AC=BC，再判断出BC=CM，即可；
（2）先求出∠DME=∠A+∠B=60°，再分两种情况利用锐角三角函数即可；
（3）先判断出AD最长时的位置，然后用锐角三角函数计算即可．

解答 证明：（1）∵△CMD是△CAD对折所得，
∴∠A=∠CMD=45°=∠B，∠ACD=∠MCD，CM=AC=BC
∵∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，
∴∠MCD+∠MCE=45°，
∴∠ACD+∠MCE=45°
∵∠ACD+∠BCE=45°，
∴∠MCE=∠BCE，
∵AC=BC，
∴BC=CM，
在△MCE和△BCE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠MCE=∠BCE}\\{CM=CB}\\{∠CME=∠B}\end{array}\right.$，
∴△MCE≌△BCE，
（2）如图，

∵AC=BC，∠ACB=120°，
∴∠A=∠B=30°，
同（1）方法可证，△CME≌△CBE，
∴∠CME=∠B，
∴∠DME=∠A+∠B=60°，
∵AD、DE、EB为边的三角形是直角三角形，
∴△DME是直角三角形，
∴∠MDE=90°，或∠DEM=90°，
①当∠MDE=90°时，∠DEM=30°，
∴sin∠DEM=$\frac{DM}{ME}$，
∴$\frac{DM}{ME}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AD}{EB}=\frac{1}{2}$，
②当∠DEM=90°时，∠MDE=30°，
∴sin∠MDE=$\frac{EM}{DM}$，
∴$\frac{EM}{DM}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BE}{AD}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AD}{BE}$=2，
即：$\frac{AD}{BE}$=$\frac{1}{2}$或2；
（3）∵D在E的左边，
∴AD最大只能靠近AB边上的高，
∵∠ACB=120°，AC=3，
∴AB边上的高为2$\sqrt{3}$，
∴0＜AD＜2$\sqrt{3}$．
故答案为0＜AD＜2$\sqrt{3}$．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了对折的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定，锐角三角函数的意义，解本题的关键是判断△CME≌△CBE．