Question

19．在矩形ABCD中，AB=6，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BED的平分线交矩形的边于点F，若点F恰为其所在矩形边的中点，则BC=3+3$\sqrt{2}$．（结果保留根号）

Answer 1

分析 延长EF交BC于点G，首先证明△ABE为等腰直角三角形，并求得其斜边BE的长，然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，最后根据△EFD≌△GFC得出CG与DE的相等关系，设CG=DE=x，并根据BG=BC+CG列出方程即可解决问题．

解答 解：延长EF和BC，交于点G，如图所示：
∵矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∴AB=AE=6，
∴等腰直角△ABE中，BE=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6 $\sqrt{2}$，
又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，
∴∠BEG=∠DEF
∵AD∥BC
∴∠G=∠DEF
∴∠BEG=∠G
∴BG=BE=6 $\sqrt{2}$，
∵∠G=∠DEF，∠EFD=∠GFC，DF=FC
∴△EFD≌△GFC
∴CG=DE，
设CG=DE=x，则AD=6+x=BC，
∵BG=BC+CG，
∴6 $\sqrt{2}$=6+x+x，
解得：x=3 $\sqrt{2}$-3
∴BC=6+（3 $\sqrt{2}$-3）=3+3 $\sqrt{2}$；
故答案为：3+3 $\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了矩形、全等三角形的判定和性质、等腰三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．