Question

14．已知正方形纸片ABCD的边长为$\sqrt{2}$+1，BD为对角线，如图1，M为AB上的动点，N为AD上的动点，△AMN沿MN翻折操作，使A落在BD上的S点．
（1）直接写出∠AMN的取值范围；
（2）当AM=1时，求∠AMN的大小；
（3）△CPQ沿PQ翻折操作，使点C落在BD上的T点．
①如图2，当点T与S重合，求证：AM=CP；
②如图3，当PQ∥MN时，求证：AM=CQ．

Answer 1

分析 （1）当点M与B重合时，∠AMN的值最小，此时∠AMN=$\frac{1}{2}$∠ABD=22.5°，当点N与D重合时，∠AMN的值最大，此时∠AMN=90°-22.5°=67.5°，由此即可解决问题；
（2）如图1中，AM=1时，作MK⊥BD于K．只要证明K与S重合即可解决问题；
（3）①如图2中，连接AS、CS分别交MN于G，交PQ于K．只要证明△MAG≌△PCK即可；
②如图3中，连接AS、CS分别交MN于G，交PQ于K．首先证明△ABS≌△CDT，推出AS=TC，再证明△MAG≌△QCK即可解决问题；

解答 解：（1）当点M与B重合时，∠AMN的值最小，此时∠AMN=$\frac{1}{2}$∠ABD=22.5°，
当点N与D重合时，∠AMN的值最大，此时∠AMN=90°-22.5°=67.5°，
故22.5°≤∠AMN≤67.5°．

（2）如图1中，AM=1时，作MK⊥BD于K．

∵AB=1+$\sqrt{2}$，AM=MS=1，
∴BM=$\sqrt{2}$，
在Rt△BKM中，∵∠MBK=45°，BM=$\sqrt{2}$，
∴MK=BK=1，
∵MS=1，
∴S与K重合，
∴MS⊥BD，
∴此时N与D重合，∠ADM=∠MDB=22.5°，
∴∠AMN=67.5°．

（3）①如图2中，连接AS、CS分别交MN于G，交PQ于K．

构建对称性可知，AS=SC，∠MAG=∠PCK，
∵AG=GS，SK=KC，
∴AG=CK，∵∠MGA=∠PKC=90°，
∴△MAG≌△PCK，
∴AM=PC．

②如图3中，连接AS、CS分别交MN于G，交PQ于K．

∵PQ∥MN，AS⊥MN，TC⊥PQ，
∴AS∥TC，
∵AB∥CD，
∴∠BAS=∠DCT，
∵∠ABS=∠CDT，AB=CD，
∵△ABS≌△CDT，
∴AS=TC，
∵AG=GS，TK=KC，
∴AG=CK，∵∠MGA=∠QKC=90°，
∴△MAG≌△QCK，
∴AM=QC．

点评 本题考查四边形综合题、轴对称变换、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．