Question

8．在等腰三角形ABC中，AB=AC，分别在射线AB、CA上取点D、E，连结DE，过点E作EF∥AB交直线BC于点F，直线BC与DE所在直线交于点M．
猜想：如图①，点D在边AB延长线上，点E在边AC上，且BD=CE，则线段DM、EM的大小关系为DM=EM．
探究：如图②，点D、E分别在边AB、CA延长线上，且BD=CE，判断线段DM、EM的大小关系，并加以证明．
拓展：如图③，点D在边AB上（点D不与点A、B重合），点E在边CA的延长线上，其它条件不变，若BD=1，CE=4，DM=0.7，则线段DE的长为2.1．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到∠D=∠MEF，证明△BDM≌△FEM即可；
（2）根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到∠D=∠MEF，证明△BDM≌△FEM即可；
（3）根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到EF=CE由BD∥EF得$\frac{BD}{EF}$=$\frac{MD}{ME}$，代入数据即可得到结论．

解答 解：（1）猜想：DM=EM．
理由：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵EF∥AD，
∴∠EFC=∠ABC，
∴∠C=∠EFC，
∴EF=EC，
∵BD=EC，
∴DB=EF，
∵EF∥AB，
∴∠D=∠MEF，
在△BDM和△FEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠FEM}\\{∠BMD=∠EMF}\\{BD=EF}\end{array}\right.$，
∴△BDM≌△FEM，
∴DM=EM．
故答案为：DM=EM．

（2）结论DM=EM．
理由：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵EF∥AB，
∴∠EFC=∠ABC，
∴∠C=∠EFC，
∴EF=EC，
∵BD=EC，
∴DB=EF，
∵EF∥AB，
∴∠D=∠MEF，
在△BDM和△FEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠FEM}\\{∠BMD=∠EMF}\\{BD=EF}\end{array}\right.$，
∴△BDM≌△FEM，
∴DM=EM．
（3）∵EF∥AB，
∴∠F=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠F=∠C，
∴EF=CE=4，
∵BD∥EF，
∴$\frac{BD}{EF}$=$\frac{MD}{ME}$，
∴$\frac{1}{4}$=$\frac{0.7}{EM}$，
∴EM=2.8，
∴DE=EM-DM=2.1，
故答案为2.1．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形以及等腰三角形，属于中考常考题型．