Question

15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．
（1）若∠B=72°，∠C=30°，
求①∠BAE的度数；
②∠DAE的度数；
（2）探究：如果只知道∠B=∠C+42°，也能求出∠DAE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①先根据三角形内角和定理计算出∠BAC=78°，然后根据角平分线定义得到∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=39°；
②根据垂直定义得到∠ADB=90°，则利用互余可计算出∠BAD=90°-∠B=18°，然后利用∠DAE=∠BAE-∠BAD进行计算即可；
（2）由∠B+∠C+∠BAC=180°，∠B=∠C+42°可消去∠C得到∠BAC=222°-2∠B，则根据角平分线定义得到∠BAE=111°-∠B，接着在△ABD中利用互余得∠BAD=90°-∠B，然后利用∠DAE=∠BAE-∠BAD进行计算即可得到∠DAE=21°．

解答 解：（1）①∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°-72°-30°=78°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=39°；
②∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°-∠B=18°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=39°-18°=21°；
（2）能．
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠B=∠C+42°，
∴∠C=∠B-42°，
∴2∠B+∠BAC=222°，
∴∠BAC=222°-2∠B，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=111°-∠B，
在△ABD中，∠BAD=90°-∠B，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=（111°-∠B）-（90°-∠B）=21°．

点评 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．掌握角平分线和高的定义，熟练进行角度的运算．