Question

7．【问题情境】
数学课上，李老师提出了如下问题：在△ABC中，∠ABC=∠ACB=α，点D是AB边上任意一点，将射线DC绕点D逆时针旋转α与过点A且平行于BC边的直线交于点E．请判断线段BD与AE之间的数量关系．
小颖在小组合作交流中，发表自己的意见：“我们不妨从特殊情况下获得解决问题的思路，然后类比到一般情况．”小颖的想法获得了其他成员一致的赞成．
【问题解决】
如图1，当α=60°时，判断BD与AE之间的数量关系．
解法如下：过D点作AC的平行线交BC于F，构造全等三角形，通过推理使问题得到解决，请你直接写出线段BD与AE之间的数量关系：BD=AE．
【类比探究】
（2）如图2，当α=45°时，请判断线段BD与AE之间的数量关系，并进行证明；
（3）如图3，当α为任意锐角时，请直接写出线段BD与AE之间的数量关系：BD=2cosα•AE．（用含α的式子表示，其中0°＜α＜90°）

Answer 1

分析 【问题情境】可利用四点共圆证角相等，然后证△BDC∽△AEC相似可以确定BD=2cosα•AE．
【问题解决】当α=60°时，△ABC、△DCE是等边三角形，EC=DC，AC=BC，根据等量减等量求得∠BCD=∠ACE，可得△BDC≌△ACE，答案可证．
【类比探究】（2）过点D作DF∥AC，交BC于F，可证得△DFB是等腰直角三角形，BD=DF=$\sqrt{2}$BF，再证明△ADE∽△FCD，得$\frac{AE}{DF}=\frac{AD}{CF}$，由DF∥AC，得$\frac{BD}{BF}=\frac{AD}{CF}$．得出$\frac{AE}{BD}=\frac{BD}{BF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．即可得出结论．
（3）可利用四点共圆证角相等，然后证△BDC∽△AEC相似可以确定BD=2cosα•AE．

解答 【问题情境】解：BD=2cosα•AE；理由如下：∵AE∥BC，∠EAC=∠ACB=α，
∴∠EAC=∠EDC=α，
∴A、D、C、E四点共圆，
∴∠ADE=∠ACE，
∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=∠ABC+∠BCD，∠ABC=∠EDC=α，
∴∠ADE=∠BCD，
∴∠ACE=∠BCD
∵∠ABC=∠EAC=α，
∴△BDC∽△ACE，
∴$\frac{BD}{AE}=\frac{BC}{AC}$，
又∵$\frac{BC}{AC}$=2cosα，∴BD=2cosα•AE．
故答案为BD=2cosα•AE．

【问题解决】解：当α=60°时，△ABC、△DCE是等边三角形，
∴EC=DC，AC=BC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
在△BDC和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{EC=DC}&{\;}\\{∠BCD=∠ACE}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△ACE（SAS），
∴BD=AE；
故答案为：BD=AE．

【类比探究】解：（2）BD=$\sqrt{2}$AE；理由如下：
如图2，过点D作DF∥AC，交BC于F．
∵DF∥AC，
∴∠ABC=∠DFB．
∵∠ABC=∠ACB=α，α=45°，
∴∠ABC=∠ACB=∠DFB=45°．
∴△DFB是等腰直角三角形
∴BD=DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BF．
∵AE∥BC，
∴∠ABC+∠BAE=180°．
∵∠DFB+∠DFC=180°
∴∠BAE=∠DFC．
∵∠ABC+∠BCD=∠ADC，∠ABC=∠CDE=α，
∴∠ADE=∠BCD．
∴△ADE∽△FCD．
∴$\frac{AE}{DF}=\frac{AD}{CF}$．
∵DF∥AC，
∴$\frac{BD}{BF}=\frac{AD}{CF}$．
∴$\frac{AE}{BD}=\frac{BD}{BF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴BD=$\sqrt{2}$AE，
故答案为：BD=$\sqrt{2}$AE．

（3）补全图形如图3，∵AE∥BC，∠EAC=∠ACB=α，
∴∠EAC=∠EDC=α，
∴A、D、C、E四点共圆，
∴∠ADE=∠ACE，
∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=∠ABC+∠BCD，∠ABC=∠EDC=α，
∴∠ADE=∠BCD，
∴∠ACE=∠BCD
∵∠ABC=∠EAC=α，
∴△BDC∽△ACE，
∴$\frac{BD}{AE}=\frac{BC}{AC}$，
又∵$\frac{BC}{AC}$=2cosα，∴BD=2cosα•AE．
故答案为：BD=2cosα•AE．

点评 本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质以及三角形相似的判定与性质的综合应用，在解答本题时要注意类比思想的应用，正确绘图也是解题的关键．