Question

17．如图，AB为⊙O直径，BC为⊙O切线，连接A、C两点，交⊙O于点D，BE=CE，连接DE，OE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：BC²=CD•2OE；
（3）若cos∠BAD=$\frac{3}{5}$，BE=6，求OE的长．

Answer 1

分析 （1）利用圆周角定理得到∠ADB=90°，再利用直角三角形斜边上的中线性质得CE=DE=BE=$\frac{1}{2}$BC，则∠C=∠CDE，加上∠A=∠ADO得到∠C+∠A=90°，然后证明∠ODE=90°，从而根据切线的判定方法可判定DE为⊙O的切线；
（2）先证明OE是△ABC的中位线得到AC=2OE，再证明△ABC∽△BDC，则利用相似比和比例的性质可得到结论；
（3）利用OE∥AC得到∠BOE=∠BAD，根据余弦定义得到cos∠BOE=$\frac{3}{5}$=$\frac{OB}{OE}$，则可设OB=3t，OE=5t，利用勾股定理得到BE=4t，于是得到4t=6，然后求出t后计算5t即可．

解答 （1）解：连接BD、OD，如图，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△BDC中，E∵为斜边BC的中点，
∴CE=DE=BE=$\frac{1}{2}$BC，
∴∠C=∠CDE，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵∠ABC=90°，
∴∠C+∠A=90°，
∴∠ADO+∠CDE=90°，
∴∠ODE=90°，
∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，
∴DE为⊙O的切线；

（2）证明：∵E是BC的中点，O点是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴AC=2OE，
∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，
∴△ABC∽△BDC，
∴BC：CD=AC：BC，
即BC²=AC•CD．
∴BC²=2CD•OE；

（3）解：∵OE∥AC，
∴∠BOE=∠BAD，
在Rt△OBE中，cos∠BOE=$\frac{3}{5}$=$\frac{OB}{OE}$，
设OB=3t，OE=5t，
则BE=4t，
∴4t=6，解得t=$\frac{3}{2}$，
∴OE=5t=$\frac{15}{2}$．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、三角形中位线性质和切线的判定方法；会利用勾股定理和相似比计算线段的长和表示线段之间的关系．