Question

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A切y轴于点B，且点A在反比例函数y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$（x＞0）的图象上，连接OA交⊙A于点C，且点C为OA中点，则图中阴影部分的面积为（　　）

• A． 4$\sqrt{3}$-$\frac{π}{3}$
• B． 4$\sqrt{3}-\frac{2π}{3}$
• C． 2$\sqrt{3}-\frac{π}{3}$
• D． 2$\sqrt{3}-\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 连接AB，根据反比例函数系数k的几何意义得出S_△AOB=2$\sqrt{3}$，根据点C为OA中点，得出AB=$\frac{1}{2}$OA，即可求得∠OAB=60°，根据面积求得AB的长，然后求得扇形的面积，即可求得阴影的面积．

解答 解：连接AB，BC，
∵点A在反比例函数y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$（x＞0）的图象上，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$OB•AB=2$\sqrt{3}$，
∵点C为OA中点，
∴BC=$\frac{1}{2}$OA=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠OAB=60°，
∴$\frac{OB}{AB}$=tan60°=$\sqrt{3}$，
∴OB=$\sqrt{3}$AB，
∴$\frac{1}{2}$•$\sqrt{3}$AB•AB=2$\sqrt{3}$，
∴AB=2，
∴S_扇形=$\frac{60π•A{B}^{2}}{360}$=$\frac{60π•{2}^{2}}{360}$=$\frac{2π}{3}$，
∴S_阴影=S_△AOB-S_扇形=2$\sqrt{3}$-$\frac{2π}{3}$，
故选D．

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义，直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的判定和性质以及扇形的面积等，作出辅助线构建等边三角形是解题的关键．